Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=

1

4

，an=

an-1

(-1)n+13an-1+2

(n≥2，n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)bn=

1

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an=

an-1

(-1)n+13an-1+2

(n≥2，n∈N*)，

1

an

=

(-1) n+1•3an-1+2

an-1

=

2

an-1

+(-1) n-1•3，故

1

an

+(-1) n=

2

an-1

+(-1) n-1•3+（-1）ⁿ=2[

1

an-1

+(-1)n-1]，由a1=

1

4

，知

1

an

=3×2n-1-(-1)  n=3×2^n-1+（-1）^n-1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（2）由bn=

1

an

=3×2^n-1+（-1）^n-1，知S_n=3×（1+2+2²+…+2^n-1）+[1+（-1）+（-1）²+…+（-1）^n-1]，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）∵an=

an-1

(-1)n+13an-1+2

(n≥2，n∈N*)，
∴

1

an

=

(-1) n+1•3an-1+2

an-1

=

2

an-1

+(-1) n-1•3，
∴

1

an

+(-1) n=

2

an-1

+(-1) n-1•3+（-1）ⁿ=2[

1

an-1

+(-1)n-1]，
∴

1 an +(-1)n

1 an-1 +(-1)n-1

=2，
∵a1=

1

4

，∴

1

a1

+(-1) 1=3，
∴{

1

an

+(-1)n}是以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴

1

an

+(-1)n=3×2^n-1，即

1

an

=3×2n-1-(-1)  n=3×2^n-1+（-1）^n-1，
∴an=

1

3×2n-1+(-1)n-1

，
（2）∵bn=

1

an

=3×2^n-1+（-1）^n-1，
∴S_n=3×（1+2+2²+…+2^n-1）+[1+（-1）+（-1）²+…+（-1）^n-1]
=3×

1×(1-2n)

1-2

+[1+（-1）+（-1）²+…+（-1）^n-1]
=3•2ⁿ-2+[1+（-1）+（-1）²+…+（-1）^n-1]
=

3•2n-3，n為奇數(shù) 3•2n-2，n為偶數(shù)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用，