Question

（2009•普陀區(qū)二模）若n∈N^*，(1+

2

)n=

2

an+bn（a_n、b_n∈Z）．
（1）求a₅+b₅的值；
（2）求證：數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為奇數(shù)．

Answer 1

分析：（1）令n=5，利用二項(xiàng)式定理展開，然后化簡(jiǎn)整理可求出a₅與b₅的值，從而求出所求；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，先奠基，然后假設(shè)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，然后證明當(dāng)n=k+1時(shí)也成立即可．

解答：解：（1）當(dāng)n=5時(shí)，(1+

2

)5=

C

0 5

+

C

1 5

2

+

C

2 5

(

2

)2+…+

C

5 5

 (

2

)5
=[

C

0 5

+

C

2 5

(

2

)2+

C

4 5

(

2

)4]+[

C

1 5

2

+

C

2 5

(

2

)3+

C

5 5

(

2

)5]
=41+29

2

故a₅=29，b₅=41所以a₅+b₅=70
（2）證明：由數(shù)學(xué)歸納法
（i）當(dāng)n=1時(shí)，易知b₁=1，為奇數(shù)；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，(1+

2

)k=

2

ak+bk，其中b_k為奇數(shù)；
則當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+

2

)k+1=(1+

2

)k(1+

2

) =(

2

ak+bk)(1+

2

)
=

2

(ak+bk)+(bk+2ak)
∴b_k+1=b_k+2a_k，又a_k、b_k∈Z，所以2a_k是偶數(shù)，
由歸納假設(shè)知b_k是奇數(shù)，故b_k+1也是奇數(shù)
綜（i）（ii）可知數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為奇數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題，屬于中檔題．