Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，an+1=1+

1

an

，又數(shù)列{b_n}滿足：b₁=-1，bn+1=

1

bn-1

(n∈N*)．
（1）當a為何值時，a₄=0，并證明當a取數(shù)列{b_n}中除b₁以外的任意一項時，都可以得到一個有窮數(shù)列{a_n}；
（2）若

3

2

＜an＜2(n≥4)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）與an+1=1+

1

an

，可得an=

1

an+1-1

，根據(jù)a₄=0，可求a的值；由題意可得a_n=1+

1

an-1

=0，即可得出結論；
（2）由題意，可得

3

2

＜a₄＜2，由此可求a的取值范圍．

解答：解：（1）∵an+1=1+

1

an

，∴an=

1

an+1-1

，
∵a₄=0，∴a₃=-1，a₂=-

1

2

，a=a₁=-

2

3

；
∵bn+1=

1

bn-1

(n∈N*)，∴b_n=

1

bn+1

+1，
若a取數(shù)列{b_n}的一個數(shù)b_n，即a=b_n，
則a₂=1+

1

a1

=1+

1

bn

=b_n-1，a₃=1+

1

a2

=1+

1

bn-1

=b_n-2，
∴a_n-1=b₁=-1，∴a_n=1+

1

an-1

=0，
∴數(shù)列{a_n}只能有n項為有窮數(shù)列．
（2）∵

3

2

＜an＜2(n≥4)，
∴

3 2 ＜an-1＜2 3 2 ＜1+ 1 an-1 ＜2

（n≥5），
∴

3

2

＜a_n-1＜2（n≥5），
∴

3

2

＜a₄＜2，
∴

3

2

＜

3a+2

2a+1

＜2，
∴a＞0這就是所求的取值范圍．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查解不等式，考查學生分析解決問題的能力，有難度．