設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且 Sn=n2-4n+4.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
an
2n
,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證:
1
4
Tn<1
分析:(1)根據(jù)an=Sn-Sn-1求通項(xiàng)公式,然后驗(yàn)證a1=S1=1,不符合上式,因此數(shù)列{an}是分段數(shù)列;
(2)先寫(xiě)出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,應(yīng)用錯(cuò)位相減法,求出Tn
解答:解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-4n+4-[(n-1)2-4(n-1)+4]=2n-5
∵a1=1不適合上式,
an=
1n=1
2n-5n≥2

(2)證明:∵bn=
an
2n
=
1
2
 &,n=1
2n-5
2n
,n≥2

當(dāng)n=1時(shí),T1=
1
2

當(dāng)n≥2時(shí),Tn=
1
2
+
-1
22
+
1
23
+…+
2n-5
2n
,①
1
2
Tn=
1
22
+
-1
23
+
1
24
+…+
2n-7
2n
+
2n-5
2n+1
.②
①-②得:
1
2
Tn=
1
2
-
2
22
+2(
1
23
+…+
1
2n
)-
2n-5
2n+1
=
1
2
(1-
1
2n-2
)-
2n-5
2n+1

Tn=1-
2n-1
2n
(n≥2)
,
此式當(dāng)n=1時(shí)也適合.
Tn=1-
2n-1
2n
(n∈
N*).
2n-1
2n
>0(n∈N*)

∴Tn<1.
當(dāng)n≥2時(shí),Tn+1-Tn=(1-
2n+1
2n+1
)-(1-
2n-1
2n
)=
2n-3
2n+1
>0
,
∴Tn<Tn+1(n≥2).
T1=
1
2
,T2=1-
3
4
=
1
4
,
∴T2<T1
故Tn≥T2,即Tn
1
4
(n∈N*)

綜上,
1
4
Tn<1(n∈N*)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列,一般采取錯(cuò)位相減的方法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,這種方法要熟練掌握.體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力,屬中檔題.
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設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn,a1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,若Dn內(nèi)的整點(diǎn)(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為an(n∈N*
(1)寫(xiě)出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過(guò)程),
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對(duì)一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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