Question

（2012•四川）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂a_n=S₂+S_n對一切正整數(shù)n都成立．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）設(shè)a₁＞0，數(shù)列{lg

10a1

an

}的前n項和為T_n，當n為何值時，T_n最大？并求出T_n的最大值．

Answer 1

分析：（I）由題意，n=2時，由已知可得，a₂（a₂-a₁）=a₂，分類討論：由a₂=0，及a₂≠0，分別可求a₁，a₂
（II）由a₁＞0，令bn=lg

10a1

an

，可知bn=1-lg(

2

)n-1=1-

1

2

(n-1)lg2=

1

2

lg

100

2n-1

，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求和的最大項

解答：解：（I）當n=1時，a₂a₁=s₂+s₁=2a₁+a₂①
當n=2時，得a22=2a1+2a2②
②-①得，a₂（a₂-a₁）=a₂③
若a₂=0，則由（I）知a₁=0，
若a₂≠0，則a₂-a₁=1④
①④聯(lián)立可得a1=

2

+1，a2=

2

+2或a1=1-

2

，a2=2-

2

綜上可得，a₁=0，a₂=0或a1=

2

+1，a2=

2

+2或a1=1-

2

，a2=2-

2

（II）當a₁＞0，由（I）可得a1=

2

+1，a2=

2

+2
當n≥2時，(2+

2

)an=s2+sn，(2+

2

)an-1=s2+sn-1
∴(1+

2

)an=(2+

2

)an-1
∴an=

2

an-1（n≥2）
∴an=a1•(

2

)n-1=(1+

2

)•(

2

)n-1
令bn=lg

10a1

an

由（I）可知bn=1-lg(

2

)n-1=1-

1

2

(n-1)lg2=

1

2

lg

100

2n-1

∴{b_n}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，公差為-

1

2

lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₇=lg

10

8

＞ 0
當n≥8時，bn≤b8=

1

2

lg

100

128

＜

1

2

lg1=0
∴數(shù)列{lg

1

an

}的前7項和最大，T7=

7(b1+b7)

2

=

7(1+1-3lg2)

2

=7-

21

2

lg2

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式及利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的和的最大項，還考查了一定的邏輯運算與推理的能力．