Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n和S_n=

1

2

（n+1）（a_n+1）-1．
①求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
②求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
③設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在實(shí)數(shù)M，使得T_n≤M對(duì)一切正整數(shù)n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：①由S_n=

1

2

（n+1）（a_n+1）-1，得Sn+1=

1

2

(n+2)(an+1+1)-1，兩式相減后整理可得na_n+1=（n+1）a_n-1（1），則（n+1）a_n+2=（n+2）a_n+1-1（2），兩式相減整理后利用等差中項(xiàng)公式可判斷；
②由①知，na_n+1=（n+1）a_n-1，可求得a₂=2a₁-1=5，又a₁=3可求公差，從而可得a_n；
③使得T_n≤M對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，等價(jià)于T_n的最大值小于等于M，利用裂項(xiàng)相消法可求得T_n，進(jìn)而可求得其最大值；

解答：解：①∵S_n=

1

2

（n+1）（a_n+1）-1，
∴Sn+1=

1

2

(n+2)(an+1+1)-1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

1

2

[(n+2)(an+1+1)-(n+1)(an+1)]，
整理得，na_n+1=（n+1）a_n-1…（1）
∴（n+1）a_n+2=（n+2）a_n+1-1…（2）
（2）-（1），得（n+1）a_n+2-na_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
∴2（n+1）a_n+1=（n+1）（a_n+2+a_n），
∴2a_n+1=a_n+2+a_n，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
②由①知，na_n+1=（n+1）a_n-1，得a₂=2a₁-1=5，
又a₁=3，∴a₂-a₁=2，即公差為2，
a_n=3+（n-1）×2=2n+1；
③∵

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴Tn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)，
又當(dāng)n∈N^*時(shí)，Tn＜

1

6

，
要使得T_n≤M對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，只要M≥

1

6

，
∴存在實(shí)數(shù)M使得T_n≤M對(duì)一切正整數(shù)n都成立，M的最小值為

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差關(guān)系的確定、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和，恒成立問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．