Question

（2013•蘭州一模）選修4-4：《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》
在直接坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)）
（Ⅰ）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，

π

2

），判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析：（I）先利用點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)（4，

π

2

）化為直角坐標(biāo)，再在直角坐標(biāo)系下判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；
（II）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

3

cosα，sinα），再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)Q到直線l的距離，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得d的最小值．

解答：解：（I）把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)（4，

π

2

）化為直角坐標(biāo)，得P（0，4）．
因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)（0，4）滿足直線l的方程x-y+4=0，
所以點(diǎn)P在直線l上．…（5分）
（II）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

3

cosα，sinα），
則點(diǎn)Q到直線l的距離為d=

| 3 cosα-sinα+4|

2

=

2

cos（α+

π

6

）+2

2

由此得，當(dāng)cos（α+

π

6

）=-1時(shí)，d取得最小值，且最小值為

2

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化，考查點(diǎn)線距離公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．