Question

21、△ABC中，AB＜AC，AD、AE分別是BC邊上的高和中線，且∠BAD=∠EAC，證明∠BAC是直角．

Answer 1

分析：要想證明∠BAC為直角，即AE=EC+EB，由已知AD、AE分別是BC邊上的高和中線，想到可添加輔助線構造等腰三角形．

解答：解：如圖，過點E作BC的垂線與BA的延長線交于點F，連接CF，
由BE=EC與FE⊥BC，易知三角形FBC為等腰三角形，
∴∠BFE=∠CFE，
又因AD與FE均垂直BC，∴AD‖F(xiàn)E
∴∠BAD=∠BFE
∴∠BAD=∠CFE=∠EAC，
∴A E C F四點共圓，
∴∠ACE=∠AFE=∠BAD=∠EAC，
∴∠ACE=∠EAC，
∴AE=EC=BE
∴∠BAC=90•

點評：本題的難度較大，特別是添加輔助線的方法不太容易想到，建議大家在做平面幾何題的時候，多總結添加輔助線的方法，多做、多想、多歸納、多總結，自然會形成添加輔助線的技巧，本題中構造等腰三角形，將中線和高兩個已知條件進行統(tǒng)一，就是作輔助線的常用思路之一．