Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=ax-2-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率為$\frac{1}{e}$，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若g（x）=ax-e^x，求證：在x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）通過f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率，可得f′（e）=$\frac{1}{e}$，解得$a=\frac{2}{e}$，
（2）由（1）知：f′（x）=$\frac{ax-1}{x}$（x＞0），結(jié)合導(dǎo)數(shù)分①a≤0、②a＞0兩種情況討論即可；
（3I）通過變形，只需證明h（x）=e^x-lnx-2＞0即可，利用h′（x）=${e}^{x}-\frac{1}{x}$，根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)判定定理即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
若f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率為$\frac{1}{e}$，
則f′（e）=a-$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{e}$，
得a=$\frac{2}{e}$．----------------------------------------------（3分）
（Ⅱ）由f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，（x＞0），
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0 解得：x=$\frac{1}{a}$-------------------------（5分）
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）隨x變化情況如下表：

	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減		遞增

由表可知：f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上是單調(diào)減函數(shù)，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
所以，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）------（8分）
（Ⅲ）當(dāng)x＞0時(shí)，要證f（x）-ax-2+e^x＞0，即證e^x-lnx-2＞0，
令h（x）=e^x-lnx-2，（x＞0），只需證h（x）＞0，
∵h(yuǎn)′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
由指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)知：h′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上是增函數(shù)
又h′（1）=e-1＞0，h′（$\frac{1}{2}$）=e${\;}^{\frac{1}{2}}$-2＜0，
∴h′（1）h′（$\frac{1}{2}$）＜0，
即h′（x）在（$\frac{1}{2}$，1）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，也即h′（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)----------（10分）
設(shè)h′（x）的零點(diǎn)為t，則h′（t）=e^t-$\frac{1}{t}$=0，即e^t=$\frac{1}{t}$，（$\frac{1}{2}$＜t＜1），
由h′（x）的單調(diào)性知：
當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，h′（x）＜h′（t）=0，h（x）為減函數(shù)
當(dāng)x∈（t+∞）時(shí)，h′（x）＞h′（t）=0，h（x）為增函數(shù)，
所以當(dāng)x＞0時(shí)，
$g（x）≥g（t）={e^t}-lnt-2=\frac{1}{t}-ln\frac{1}{e^t}-2=\frac{1}{t}+t-2≥2-2=0$，
又$\frac{1}{3}＜t＜1$，故等號(hào)不成立，
∴g（x）＞0，即當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）．
h（x）＞h（t）=e^t-lnt-2=$\frac{1}{t}-ln\frac{1}{{e}^{t}}$-2=$\frac{1}{t}$+t-2≥2-2=0．
又$\frac{1}{2}$＜t＜1，等號(hào)不成立，∴h（x）＞0，
即在x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）．-------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查求函數(shù)解析式，函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性定理，注意解題方法的積累，綜合性較強(qiáng)，難度較大．