Question

（1）求證方程x3-(

2

+1)x2+(

2

-Q)x+Q=0的一個根是1，
（2）設這個方程的三個根是△ABC的三個內(nèi)角的正弦sinA，sinB，sinC，求A、B、C的度數(shù)以及Q的值．

Answer 1

分析：（1）要證x=1是方程的根，把x=1代入到方程中得到兩邊相等即可．
（2）因為方程有一根為1則方程左邊能被x-1整除則左邊除以x-1得商式x2-

2

x-Q=0.可設sinC=1及利用根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)系式求出A與B即可，再求出Q即可．

解答：解：（1）將x=1代入這個方程式，
則13-(

2

+1)•12+(

2

-Q)•1+Q=0，
故知1是原方程的一個根．
（2）由于1是原方程的一個根，所以方程左邊能被x-1整除．
用x-1除方程左邊后得商式x2-

2

x-Q=0.
根據(jù)題設條件（即有一個根為1，不妨設sinC=1）及根與系數(shù)的關(guān)系可得

sinC=1(1) sinA+sinB= 2 (2) sinA•sinB=-Q(3)

由（1）可知C=90°，于是A+B=90°，B=90°-A，代入（2）得sinA+sin（90°-A）=

2

，即sinA+cosA=

2

，
∴

2

2

sinA+

2

2

cosA=1，sin45°•sinA+cos45°•cosA=1，cos（A-45°）=1，
∴A-45°=0，∴A=45°
B=90°-45°=45°
從（3）式可得Q=-sinA•sinB=-

2

2

•

2

2

=-

1

2

.

點評：考查學生利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系的能力．