Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線的斜率大于時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若 對恒成立，求的取值范圍.（提示：）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析; （2）.

【解析】試題分析：

(1)考查函數(shù)的定義域，且 ，由，得.分類討論：

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)構(gòu)造新函數(shù)，令 ，，

則 ，，分類討論：

①當(dāng)時(shí)，可得.

②當(dāng)時(shí)， .

綜上所述，.

試題解析：

（1）的定義域?yàn)?/span>， ，，.

由，得.當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）令 ，，

則 ，，

①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，故只需，即，即，所以.

②當(dāng)時(shí)，令，得.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.

故只需，即 ，

化簡得 ，

令，得（）.

令 （），則 ，

令，，

所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，，所以在上單調(diào)遞減，在上遞增，

而， ，所以上恒有，

即當(dāng)時(shí)， .

綜上所述，.