Question

如圖，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD為菱形，∠DAB=120°，E為線段CC₁的中點，F(xiàn)為線段BD₁的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）當

D1D

AD

的比值為多少時，DF⊥平面D₁EB，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明EF∥面ABCD，利用線面平行的判定定理，證明EF∥AC即可；
（Ⅱ）當

D1D

AD

=

3

時，DF⊥平面D₁EB，以此為條件，利用線面垂直的判定定理，即可證得．

解答：（Ⅰ）證明：連接AC₁，由題意可知點F為AC₁的中點．
∵因為點E為CC₁的中點，∴在△ACC₁中，EF∥AC．…（2分）
又∵EF?面ABCD，AC⊆面ABCD，∴EF∥面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）解：當

D1D

AD

=

3

時，DF⊥平面D₁EB．  …（7分）
∵四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=120°，∴BD=

3

AD．
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為直四棱柱，∴四邊形DBB₁D₁為矩形．
又DD1=

3

AD，∴BD=DD₁，∴四邊形DBB₁D₁為正方形，∴DF⊥D₁B…（10分）
在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥底面ABCD，AC⊆面ABCD，∴AC⊥DD₁
∵四邊形ABCD為菱形，AC⊥BD，BD∩DD₁=D，
∴AC⊥面DBB₁D₁．
∵DF⊆面DBB₁D₁，∴AC⊥DF，又EF∥AC，∴EF⊥DF．…（13分）
∵EF⊆面D₁EB，D₁B⊆面D₁EB，EF∩D₁B=F，∴DF⊥平面D₁EB．…（14分）

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查探索性問題，解題的關鍵是掌握線面平行、垂直的判定方法．