Question

已知拋物線（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）求所有拋物線p_a的公共點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a取遍一切實(shí)數(shù)時(shí)，求拋物線p_a的焦點(diǎn)方程．
【理】（3）是否存在一條以y軸為對(duì)稱(chēng)軸，且過(guò)點(diǎn)（-1，-1）的開(kāi)口向下的拋物線，使它與某個(gè)p_a只有一個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出所有這樣的a；若不存在，說(shuō)明理由．
【文】（3）是否存在直線y=kx+b（k，b為實(shí)常數(shù)），使它與所有的拋物線p_a都有公共點(diǎn)？若存在，求出所有這樣的直線；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時(shí)，y=x²+ax+a-2，y=x²+bx+b-2，整理可得（a-b）x=b-a，從而可求
（2）由y=x²+ax+a-2可得，，從而可得拋物線的焦點(diǎn)為：（，）
（3）例如可設(shè)拋物線方程為x²=-2py（p＞0）
由拋物線過(guò)點(diǎn)（-1，-1）可得，此時(shí)拋物線方程為x²=-y，聯(lián)立方程整理可得2x²+ax+（a-2）=0課檢驗(yàn)
（4）由于P_a：y=x²+ax+a-2恒過(guò)定點(diǎn)（-1，-1），則只要直線y=kx+b過(guò)定點(diǎn)（-1，-1）即可
解答：解：（1）當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時(shí)，y=x²+ax+a-2，y=x²+bx+b-2
可得x²+ax+a-2=x²+bx+b-2
∴（a-b）x=b-a，x=-1代入可得，y=-1
當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時(shí)，所有拋物線p_a的公共點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-1）
（2）由y=x²+ax+a-2可得，
∴拋物線的焦點(diǎn)為：（，）
（3）在滿(mǎn)足條件的拋物線例如可設(shè)拋物線方程為x²=-2py（p＞0）
由拋物線過(guò)點(diǎn)（-1，-1）可得，此時(shí)拋物線方程為x²=-y
聯(lián)立方程整理可得2x²+ax+（a-2）=0
若a=4時(shí)，此時(shí)△=a²-8a+16=（a-4）²=0
即x²=-y與P₄：y=x²+4x+2只有一個(gè)公共點(diǎn)
（4）由于P_a：y=x²+ax+a-2恒過(guò)定點(diǎn)（-1，-1）
則只要直線y=kx+b過(guò)定點(diǎn)（-1，-1）即可
此時(shí)b=k-1，y=kx+k-1即y+1=k（x+1）滿(mǎn)足條件
故存在這樣的直線
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由拋物線的方程求解拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系的考查，直線方程的應(yīng)用，屬于綜合性試題