Question

已知定點(diǎn)F（2，0）和定直線(xiàn)l：x=-2，動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)F與定直線(xiàn)l相切，記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線(xiàn)C．
（1）求曲線(xiàn)C的方程．
（2）若以M（2，3）為圓心的圓與拋物線(xiàn)交于A、B不同兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB是此圓的直徑時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)F與定直線(xiàn)l相切，故動(dòng)圓圓心P到F的距離等于P到l的距離，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，可得P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)．
（2）由（1）中拋物線(xiàn)的方程，利用設(shè)而不求的方法，結(jié)合線(xiàn)段AB是以M（2，3）為圓心的圓的直徑，可得

y2-y1

x2-x1

=

8

y2+y1

且y₂+y₁=6，求出直線(xiàn)AB的斜率后，代入點(diǎn)斜式方程，可得答案．

解答：解：（1）由題意知，P到F的距離等于P到l的距離，
所以P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
∵定點(diǎn)F（2，0）和定直線(xiàn)l：x=-2，
它的方程為y²=8x
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y12=8x1，y22=8x2
∴

y2-y1

x2-x1

=

8

y2+y1

由AB為圓M（2，3）的直徑知，y₂+y₁=6
故直線(xiàn)的斜率為

4

3

直線(xiàn)AB的方程為y-3=

4

3

(x-2)，即4x-3y+1=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)的斜率公式，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，難度較小，屬于基礎(chǔ)題型．