Question

13．已知函數(shù)f（x）=a²x²+ax-lnx．
（Ⅰ）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=a²x²-f（x），且函數(shù)g（x）在點x=1處的切線為l，直線l′∥l，且l′在y軸上的截距為1，求證：無論a取任何實數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象恒在直線l′的下方；
（Ⅲ）已知點A（1，g（1）），Q（x₀，g（x₀）），且當x₀＞1時，直線QA的斜率恒小于2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）先求導并化簡，從而由導數(shù)的正負列表確定函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間即可；
（II）化簡函數(shù)g（x）=a²x²-f（x）=lnx-ax，再求導$g'（x）=\frac{1}{x}-a$，從而得到直線l的斜率k_l=1-a，再由l′∥l，且l′在y軸上的截距為1寫出直線l′的方程y=（1-a）x+1，再令h（x）=g（x）-[（1-a）x+1]并化簡，從而可把無論a取任何實數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象恒在直線l′的下方化為h（x）＜0（?a∈R，?x＞0）恒成立，再求導求函數(shù)的最大值即可證明．
（III）化簡A（1，-a），Q（x₀，lnx₀-ax₀），從而寫出直線QA的斜率${k_{QA}}=\frac{{ln{x_0}-a{x_0}+a}}{{{x_0}-1}}=\frac{{ln{x_0}}}{{{x_0}-1}}-a$，從而可化恒成立問題為lnx₀-（a+2）（x₀-1）＜0恒成立，再令r（x）=lnx-（a+2）（x-1）（x＞1），
求導$r'（x）=\frac{1}{x}-（{a+2}）$，再討論以確定r（x）的最大值情況即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 （I）解：f（x）=a²x²+ax-lnx，
$f'（x）=2{a^2}x+a-\frac{1}{x}=\frac{{2{a^2}{x^2}+ax-1}}{x}=\frac{{（{ax+1}）（{2ax-1}）}}{x}（{x＞0}）$，
所以，a＞0時，f（x）與f′（x）的變化情況如下：

x	$（{0，\frac{1}{2a}}）$	$\frac{1}{2a}$	$（{\frac{1}{2a}，+∞}）$
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（{\frac{1}{2a}，+∞}）$，單調(diào)遞減區(qū)間為$（{0，\frac{1}{2a}}）$．
（II）證明：g（x）=a²x²-f（x）=lnx-ax，$g'（x）=\frac{1}{x}-a$，
所以g′（1）=1-a，
所以l的斜率k_l=1-a．
因為l′∥l，且l′在y軸上的截距為1，
所以直線l′的方程為y=（1-a）x+1，
令h（x）=g（x）-[（1-a）x+1]=lnx-x-1（x＞0），
則無論a取任何實數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象恒在直線l′的下方可化為
h（x）＜0（?a∈R，?x＞0），
而$h'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$．
當x∈（0，1）時，h′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，
所以函數(shù)h（x）的（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
從而當x=1時，h（x）取得極大值h（1）=-2，
即在（0，+∞）上，h（x）取得最大值h（1）=-2，
所以h（x）≤-2＜0（?a∈R，?x＞0），
因此，無論a取任何實數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象恒在直線l′的下方．
（III）因為A（1，-a），Q（x₀，lnx₀-ax₀），
所以${k_{QA}}=\frac{{ln{x_0}-a{x_0}+a}}{{{x_0}-1}}=\frac{{ln{x_0}}}{{{x_0}-1}}-a$，
所以當x₀＞1時，$\frac{{ln{x_0}}}{{{x_0}-1}}-a＜2$，
即lnx₀-（a+2）（x₀-1）＜0恒成立，
令r（x）=lnx-（a+2）（x-1）（x＞1），
則$r'（x）=\frac{1}{x}-（{a+2}）$，
因為x＞1，所以$0＜\frac{1}{x}＜1$．
（i）當a≤-2時，a+2≤0，此時r′（x）＞0，
所以r（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，有r（x）＞r（1）=0不滿足題意；
（ii）當-2＜a＜-1時，0＜a+2＜1，
所以當$x∈（{1，\frac{1}{a+2}}）$時，r′（x）＞0，當$x∈（{\frac{1}{a+2}，+∞}）$時，r′（x）＜0，
所以至少存在$t∈（{1，\frac{1}{a+2}}）$，使得r（t）＞r（1）=0不滿足題意；
（iii）當a≥-1時，a+2≥1，此時r′（x）＜0，
所以r（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，r（x）＜r（1）=0，滿足題意．
綜上可得a≥-1，
故所求實數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用、函數(shù)的性質(zhì)應用及直線的斜率的求法，同時考查了恒成立問題及分類討論的思想應用，屬于難題．