已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=(m+1)x2-x(m≠-1).
(I)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象在公共點(diǎn)P處有相同的切線,求實(shí)數(shù)m的值和P的坐標(biāo);
(II)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(III)在(II)的條件下,過線段MN的中點(diǎn)作x軸的垂線分別與f(x)的圖象和g(x)的圖象交于S、T點(diǎn),以S點(diǎn)為切點(diǎn)
作f(x)的切線l1,以T為切點(diǎn)作g(x)的切線l2,是否存在實(shí)數(shù)m,使得l1∥l2?如果存在,求出m的值;如果不存在,請說明理由.
【答案】分析:(I)設(shè)兩函數(shù)圖象的公共點(diǎn)的坐標(biāo)P(x,y),把P的坐標(biāo)代入到f(x)和g(x)中利用的函數(shù)值相等得到一個(gè)關(guān)系式記作①,又因?yàn)樵赑處有共同的切線,所以分別求出f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù),把P的橫坐標(biāo)分別代入到兩導(dǎo)函數(shù)中利用導(dǎo)函數(shù)值相等得到又一個(gè)關(guān)系式,由關(guān)系式解出m,記作②,將②代入①,把右邊變?yōu)?后,設(shè)左邊的關(guān)系式為h(x),求出h(x)的導(dǎo)函數(shù),利用x大于0得到導(dǎo)函數(shù)大于0,所以h(x)最多只有1個(gè)零點(diǎn),觀察可得橫坐標(biāo)為1為零點(diǎn),即可求出m的值,進(jìn)而求出此時(shí)P的坐標(biāo);
(II)由第一問求得的m的值和P的坐標(biāo),求出函數(shù)g(x)的對稱軸,f(x)是固定不變的,所以將g(x)的對稱軸向右移動,兩條曲線有不同的交點(diǎn),即當(dāng)x=大于列出關(guān)于m的不等式,求出不等式的解集即可得到此時(shí)m的范圍,而當(dāng)m小于-1時(shí),拋物線開口向下,只有一個(gè)交點(diǎn),不合題意;
(III)采用反證法證明,方法是:假設(shè)存在這樣的m,可設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),且x1>x2,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M與N的中點(diǎn)坐標(biāo),然后把中點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代入到f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)中即可求出兩切線方程的斜率,因?yàn)閮汕芯平行,所以利用斜率相等得到一個(gè)關(guān)系式記作③,且把兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代入到f(x)和g(x)中,并讓函數(shù)值相等,給③的兩邊同乘以x1-x2,得關(guān)系式④,把④化簡后,設(shè)μ等于大于1,得到關(guān)于μ的等式,移項(xiàng)后設(shè)h(μ)等于等式的左邊,求出h(μ)的導(dǎo)函數(shù),判斷出導(dǎo)函數(shù)大于0,得到h(μ)在[1,+∞]上單調(diào)遞增,故h(μ)>h(1)=0,與剛才化簡的等式④矛盾,所以假設(shè)錯(cuò)誤,所以不存在這樣的m,使l1∥l2
解答:解:(I)設(shè)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象的公共點(diǎn)為P(x,y),
則有l(wèi)nx=(m+1)x2-x①,
又在點(diǎn)P處有共同的切線,
,②
②代入①,得
設(shè)
所以,函數(shù)h(x)最多只有1個(gè)零點(diǎn),
觀察得x=1是零點(diǎn),故m=0.
此時(shí),點(diǎn)P(1,0);
(II)根據(jù)(I)知,當(dāng)m=0時(shí),兩條曲線切于點(diǎn)P(1,0),
此時(shí),變化的y=g(x)的圖象的對稱軸是x=,
而y=f(x)是固定不變的,如果繼續(xù)讓對稱軸向右移動,
,解得-1<m<0.兩條曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
當(dāng)m<-1時(shí),開口向下,只有一個(gè)交點(diǎn),顯然不合題意,
所以,有-1<m<0;

(III)假設(shè)存在這樣的m,不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),且x1>x2,
則MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為
以S為切線的切線l1的斜率,
以T為切點(diǎn)的切線l2的斜率
如果存在m,使得ks=kT,
.③
而且有l(wèi)nx1=(m+1)x12-x1和lnx2=(m+1)x22-x2
如果將③的兩邊同乘以x1-x2,得
,
,
也就是
設(shè)μ=,則有
(μ>1),則
∵μ>1,∴h'(μ)>0.
因此,h(μ)在[1,+∞]上單調(diào)遞增,故h(μ)>h(1)=0.

∴④與⑤矛盾.
所以,不存在實(shí)數(shù)m使得l1∥l2
點(diǎn)評:此題要求學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,會討論根的存在性并會判斷根的個(gè)數(shù),掌握反證法的證明方法,是一道比較難的題.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時(shí),對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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