Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，BC=1，AA1=

3

．
（1）求異面直線AC₁，A₁B₁所成的角的大�。�
（2）求證：BC₁∥平面A₁DC．

Answer 1

分析：（1）利用正三棱柱中的平行關(guān)系，可知∠BAC₁即為異面直線AC₁，A₁B₁所成的角．在△BAC₁中，AB=1，AC₁=2，BC₁=2，利用余弦定理可求；
（2）連接AC₁交A₁C于點(diǎn)G，連接DG，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，則AG=GC₁，而AD=DB，則DG∥BC₁，DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，根據(jù)線面平行的判定定理可知BC₁∥平面A₁DC．

解答：解：（1）∵AB∥A₁B₁，
∴∠BAC₁即為異面直線AC₁，A₁B₁所成的角
在△BAC₁中，AB=1，AC₁=2，BC₁=2
∴cos∠BAC1=

1+4-4

2×1×2

=

1

4

∴∠BAC1=arccos

1

4

即 異面直線AC₁，A₁B₁所成的角為arccos

1

4

；
（2）證明：連接AC₁交A₁C于點(diǎn)G，連接DG，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，
∴AG=GC₁，
∵AD=DB，
∴DG∥BC₁
∵DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．

點(diǎn)評(píng)：本題以正三棱柱為載體，主要考查了直線與平面平行的判定定理以及線面角的求法．涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，知識(shí)性技巧性都很強(qiáng)．