Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過圓O：上的任意一點(diǎn)作圓的一條切線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓C的方程，利用長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M，求出幾何量，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論，利用數(shù)量積公式，結(jié)合直線與圓相切，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)橢圓C的方程為（a＞b＞0）
∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，
∴橢圓方程為
∵在橢圓C上
∴
∴b²=4
∴橢圓C的方程為；
（2）證明：當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)切線方程為
與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為（）或（-）
此時(shí)；
當(dāng)切線l斜率存在時(shí)，可設(shè)l的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
則△=8k²-m²+4＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
∵l與圓相切
∴
∴3m²=8k²+8
∴
綜上所述為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查數(shù)量積公式，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．