Question

7．如圖，在幾何體ABDCE中，AB=AD，AE⊥平面ABD，M為線段BD的中點(diǎn)，MC∥AE，AE=MC．
（1）求證：平面BCD⊥平面CDE；
（2）若N為線段DE的中點(diǎn)，求證：平面AMN∥平面BEC．

Answer 1

分析 （1）先證明AM⊥BD，MC⊥AM，從而AM⊥平面CBD，再由EC⊥平面CBD，能證明平面BCD⊥平面CDE．
（2）由三角形中位線定理得MN∥BE，再由EC∥AM，能證明平面AMN∥平面BEC．

解答 證明：（1）∵AB=AD，M為線段BD的中點(diǎn)，∴AM⊥BD．
∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD．
∴MC⊥AM，∴AM⊥平面CBD．
又MC∥AE，MC=AE，∴四邊形AMCE為平行四邊形，
∴EC∥AM，∴EC⊥平面CBD，
∴平面BCD⊥平面CDE．
（2）∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，N為ED中點(diǎn)，
∴MN∥BE
由（1）知，EC∥AM且AM∩MN=M，BE∩EC=E，
∴平面AMN∥平面BEC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直、面面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．