Question

    如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面邊長為a，點(diǎn)M在邊BC上，△AMC₁是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.

    (1)求證：點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)；

    (2)求點(diǎn)C到平面AMC₁的距離；

    (3)求二面角M—AC₁—C的大小.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)證明：∵△AMC1為以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，     ∴AM⊥C1M，且AM＝C1M，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥底面ABC.     ∴C1M在底面內(nèi)的射影為CM，AM⊥CM.     ∵底面ABC為邊長為a的正三角形，∴點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn).     (2)解：過點(diǎn)C作CH⊥MC1于H.     由(1)知AM⊥C1M且AM⊥CM，     ∴AM⊥平面C1CM.     ∵CH在平面C1CM內(nèi)，∴CH⊥AM，∴CH⊥平面C1AM.     由(1)知，AM＝C1M＝，CM＝a且CC1⊥BC.     ∴CC1＝.     ∴CH＝.     ∴點(diǎn)C到平面AMC1的距離為.     (3)解：過點(diǎn)C作CI⊥AC1于I，連HI，     ∵CH⊥平面C1AM，∴HI為CI在平面C1AM內(nèi)的射影，     ∴HI⊥AC1，∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角.     在直角三角形ACC1中，     CI=，     sinCIH=，     ∴∠CIH=45°，∴二面角M—AC1—C的大小為45°.