Question

f（x）=sin²ωx+

3

cosωx•cos(

π

2

-ωx)（ω＞0），且函數(shù)y=f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

．
（1）求ω的值及f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若a=1，b=

2

，f（A）=1，求角C．

Answer 1

分析：（1）將f（x）解析式第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)第二個(gè)因式利用誘導(dǎo)公式變形，再利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由y=f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

，得到f（x）的周期為π，利用周期公式求出ω的值，確定出f（x）的解析式，由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到f（x）的遞增區(qū)間；
（2）由第一問確定出的f（x）解析式，根據(jù)f（A）=1，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，由a與b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由b大于a，得到B大于A，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出C的度數(shù)．

解答：解：（1）∵f（x）=sin²ωx+

3

cosωx•cos（

π

2

-ωx）
=

1

2

（1-cos2ωx）+

3

2

sin2ωx=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，
∵y=f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

，
∴y=f（x）的周期為π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，x∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（2）∵f（A）=1，∴sin（2A-

π

6

）+

1

2

=1，即sin（2A-

π

6

）=

1

2

，
∴2A-

π

6

=

π

6

或2A-

π

6

=

5π

6

，即A=

π

6

，
∵a=1，b=

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

bsinA

a

=

2

2

，
∴B=

π

4

或

3π

4

，
則C=

7π

12

或

π

12

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．