已知函數(shù)f（x）=4x+
a
x
（a＞0，a∈R），
（1）判斷并證明f（x）在（0，
a
2
）上的單調(diào)性；
（2）討論函數(shù)g（x）=4x+
a
x
-1（a＞0）在（0，+∞）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
分析：（1）任取x1，x2∈(0，
a
2
)，設(shè)x1＜x2，我們構(gòu)造出f（x1）-f（x2）的表達(dá)式，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，我們易出f（x1）-f（x2）的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案．
（2）令g（x）=4x+
a
x
-1=0，利用（1）得g(x)在(0，
a
2
)上單調(diào)遞減，同理可得，g(x)在[
a
2
，+∞]上單調(diào)遞增，再對(duì)a進(jìn)行分類討論，討論函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)．
解答：解：（1）f（x）在(0，
a
2
)上單調(diào)遞減
證：任取x1，x2∈(0，
a
2
)，設(shè)x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=4x1+
a
x1
-4x2-
a
x2
=4(x1-x2)+a•
x2-x1
x1x2
=(x1-x2)(4-
a
x1x2
)
∵x1＜
a
2
，x2＜
a
2
∴x1x2＜
a
4
，
∴
a
x1x2
＞4.
所以f（x）為減函數(shù)．
（2）由（1）得g(x)在(0，
a
2
)上單調(diào)遞減，同理可得，g(x)在[
a
2
，+∞]上單調(diào)遞增．
故g（x）的最小值為g(
a
2
)=4
a
-1，
∴當(dāng)4
a
-1＞0，即a＞
1
16
時(shí)，無零點(diǎn)；
當(dāng)a=
1
16
時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)； 
當(dāng)0＜a＜
1
16
時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中作差法（定義法）證明函數(shù)的單調(diào)性是我們中學(xué)階段證明函數(shù)單調(diào)性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-
4+
1
x2
，數(shù)列{an}，點(diǎn)Pn（an，-
1
an+1
）在曲線y=f（x）上（n∈N+），且a1=1，an＞0．
（ I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（ II）數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn且滿足bn=an2an+12，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-
4-x2
在區(qū)間M上的反函數(shù)是其本身，則M可以是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=4+ax-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是
（1，5）
（1，5）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
4-x
的定義域?yàn)锳，B={x|2x+3≥1}．
（1）求A∩B；
（2）設(shè)全集U=R，求?U（A∩B）；
（3）若Q={x|2m-1≤x≤m+1}，P=A∩B，Q⊆P，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
(4-
a
2
)x+4，  x≤6
ax-5，     x＞6
（a＞0，a≠1），數(shù)列{an}滿足an=f（n）（n∈N*），且{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（　　）

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