Question

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是A₁D₁和CC₁的中點(diǎn)。
（Ⅰ）求證：EF∥平面ACD₁；
（Ⅱ）求面EFB和底面ABCD所成角的余弦值大小。

Answer 1

解：如圖分別以DA、DC、DD1所在的直線為x 軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、
B₁（2，2，2）、D₁（0，0，2）、E（1，0，2 ）、F（0，2，1），
（1）取AD₁中點(diǎn)G，則G（1，0，1），
=（1，-2，1），
又=（-1，2，-1），
由=，
∴與共線，
從而EF∥CG，
∵CG平面ACD₁，EF平面ACD₁，
∴EF∥平面ACD₁。
（2）設(shè)面EFB的一個(gè)法向量，
由得，
故可取，
取底面ABCD的一個(gè)法向量，
由，
所成的銳二面角余弦值的大小為。