Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

．斜率為k（k≠0）的直線?過橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m），且當(dāng)k=1時(shí)，下焦點(diǎn)到直線?的距離為

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)k=1時(shí)，下焦點(diǎn)到直線?的距離為

2

，可求得c=1，利用離心率為

2

2

，可求得a=

2

，從而可求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線的方程為y=kx+1，與橢圓方程聯(lián)立，借助于線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m），設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N，從而有k_MN•k=-1，由此可求m的取值范圍．

解答：解：（1）依題意可得，下焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-c），上焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），直線方程為y=x+c
∵下焦點(diǎn)到直線?的距離為

2

，∴

2

=

|2c|

2

，∴c=1
∵

c

a

=

2

2

，c=1，可得a=

2

∴b=1
所以橢圓方程為

y2

2

+x2=1
（2）設(shè)直線的方程為y=kx+1
由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=

-1

k2+2

可得y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(

-k

k2+2

，

2

k2+2

)
由題意有k_MN•k=-1
可得

m- 2 k2+2

k k2+2

•k=-1，可得m=

1

k2+2

∵k≠0，∴0＜m＜

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的幾何性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是借助于線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m），設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N，從而有k_MN•k=-1