Question

已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
（Ⅰ）求此幾何體的體積V的大�。�
（Ⅱ）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）試探究在棱DE上是否存在點(diǎn)Q，使得AQ⊥BQ，若存在，求出DQ的長(zhǎng)，不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，求得 S_梯形BCED 的值，再由此幾何體的體積V=•S_梯形BCED•AC，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得 、的坐標(biāo)，可得  的值以及||和||的值，再由兩個(gè)向量的夾角公式求得兩個(gè)向量 和夾角的余弦值，再取絕對(duì)值，即得所求．
（3）由題意可得存在λ（0＜λ＜1）使得，根據(jù)，求得結(jié)果，同理求得．再由，解得λ的值，可得點(diǎn)Q存在，由此求得DQ的長(zhǎng)．
解答：解：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴S_梯形BCED=（4+1）×4=10．
∴此幾何體的體積V=•S_梯形BCED•AC=×10×4=．--------（4分）
（2）以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4），
∴=（0，-4，3），=（-4，4，0），∴=0-16+0=-16，||=5，||=4．
∴cos＜ ＞===-．
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．---------（4分）
（3）∵點(diǎn)Q在棱DE上，∴存在λ（0＜λ＜1）使得，
∴，
同理．
∵，∴，即0×（-4）+（-4）×（4-4λ）+（3λ+1）²=0，
解得，故滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在，DQ的長(zhǎng)為1．-------------（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面垂直的性質(zhì)，異面直線所稱的角的求法，兩個(gè)空間向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，求棱錐的體積，
屬于中檔題．