Question

設函數(shù)f（x）=

log3x，x＞0 log 1 3 (-x)，x＜0

若f（m）＜f（-m），則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-∞，-1）∪（1，+∞）

C．（-1，0）∪（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析：分m大于0和m小于0兩種情況考慮：當m大于0時，-m小于0，代入相應的解析式中求出f（m）和f（-m），將求出的解析式代入已知的不等式中，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到m的取值范圍；當m小于0時，-m大于0，代入相應的解析式中求出f（m）和f（-m），將求出的解析式代入已知的不等式中，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)的單調(diào)性即可求出m的范圍，綜上，求出兩個解集的并集即可得到實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：當m＞0時，f（m）=log₃^m，f（-m）=

log

m 1 3

，
代入不等式得：log₃^m＜

log

m 1 3

=-log₃^m，
變形得：log₃^m＜0=log₃¹，
∵3＞1，對數(shù)函數(shù)為遞增函數(shù)，
∴0＜m＜1；
當m＜0時，f（m）=

log

-m 1 3

，f（-m）=log₃^-m，
代入不等式得：

log

-m 1 3

＜log₃^-m，
變形得：log₃^-m＞0=log₃¹，
∵3＞1，對數(shù)函數(shù)為遞增函數(shù)，
∴m＜-1，
綜上，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-1）∪（0，1）．
故選D．

點評：此題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)，以及對數(shù)的運算性質(zhì)．利用分類討論的數(shù)學思想，根據(jù)分段函數(shù)的解析式得到相應的f（m）和f（-m）是解本題的關鍵．