Question

定義運算，設(shè)函數(shù)f（x）=（2x+1）*（x+1），且關(guān)于x的方程f（x）=m恰有三個互不相等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，則x₁x₂x₃的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先由新定義得出函數(shù)f（x）的解析式，進而畫出其圖象并求出方程f（x）=m取得三個根的條件，最后再求出x₁x₂x₃的取值范圍即可．
解答：解：由定義可知：f（x）=，畫出圖象如圖所示：
∵當(dāng)x≤0時，f（x）=≥-2；當(dāng)x＞0時，f（x）=＜0．
∴當(dāng)-2＜m＜0時，關(guān)于x的方程f（x）=m恰有三個互不相等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，則x₁，x₂是方程的兩個根，x₃是方程-x²-x=m的正根．
∴，．
∴x₁x₂x₃=（-2＜m＜0）．
令，即1-4m=t²．又∵-2＜m＜0，∴1＜t＜3．
φ（t）=，
則，
∵1＜t＜3，∴φ^′（t）＞0，∴函數(shù)φ（t）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞增，∴φ（1）＜φ（t）＜φ（3），即0＜φ（t）＜．
∴x₁x₂x₃的取值范圍是．
故答案為．
點評：本題考查的是新定義、方程的根的存在性及根的個數(shù)，由新定義正確得出函數(shù)的解析式并畫出圖象，進而求出方程f（x）=m取得三個根的條件是解題的關(guān)鍵．