Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）-alnx
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）正確求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，再求得導(dǎo)函數(shù)后，利用f'（x）＞0，解自變量的取值范圍時(shí)要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，很明顯由f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

以及x＞0，可分a≤0和a＞0來(lái)討論得解．
（2）由f（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）上恒成立可分a≤1和a＞1來(lái)討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值大于等于0的問(wèn)題來(lái)求解．

解答：解：（1）f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

（x＞0）（1分）
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，在（0，+∞）上為增函數(shù)，無(wú)極值          （2分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)=

x-a

x

=0，x=a，（0，a）上為減函數(shù)，在（a，+∞）上為增函數(shù)        （2分）
有極小值f（a）=（a-1）-alna，無(wú)極大值（1分）
（2）f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

當(dāng)a≤1時(shí)，f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，則f（x）是單調(diào)遞增的，
則f（x）≥f（1）=0恒成立，則a≤1（13分）
當(dāng)a＞1時(shí)，在（1，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，所以x∈（1，a）時(shí)，f（x）≤f（1）=0這與f（x）≥0恒成立矛盾，故不成立（3分）
綜上：a≤1

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及利用到輸球函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問(wèn)題；考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)不等式的恒成立問(wèn)題，求參數(shù)的取值范圍，主要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)這一工具來(lái)求解．