Question

（2011•廣州一模）已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且對任意x，y∈R都有f（x-y）=

f(x)

f(y)

，記a_i=a₁•a₂•…•a_n，則f（6-i）=

32

．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x-y）=

f(x)

f(y)

，可知f（x-y）f（y）=f（x），利用f（x-y）f（y）=f（x），可把

π

10 i=1

f（6-i）=f（5）f（4）…f（-3）f（-4）轉(zhuǎn)化為求f⁵（1），即可求得答案．

解答：解：∵

π

n i=1

ai=a1•a2•…•an，
∴

π

10 i=1

f（6-i）=f（5）f（4）…f（-3）f（-4），
∵對任意x，y∈R都有f（x-y）=

f(x)

f(y)

，
∴f（x-y）f（y）=f（x），
∴f（5）f（-4）=f（1），f（4）f（-3）=f（1），…，f（1）f（0）=f（1），
∴

π

10 i=1

f（6-i）=f（5）f（4）…f（-3）f（-4）=f⁵（1），
∵f（1）=2，
∴f⁵（1）=2⁵=32，
∴

π

10 i=1

f（6-i）=32．
故答案為：32．

點評：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，利用題中所給信息把問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，本題的解法可以類比數(shù)列求和中的“倒序相加法”，關(guān)鍵點是抓住f（5）f（-4）=f（1），f（4）f（-3）=f（1），…，f（1）f（0）=f（1）．屬于中檔題．