Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=19，S_n=na_n+n（n-1），其中n=2，3，4，…
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及S的最大值；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ （n∈N⁺），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是以19為首項，-2為公差的等差數(shù)列，從而可數(shù)列{a_n}的通項公式及S_n的最大值；
（2）首先利用誘導(dǎo)公式以及（1）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，然后分類討論，即可求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）由題意，∵S_n=na_n+n（n-1），
∴n≥3時，S_n-1=（n-1）a_n-1+（n-1）（n-2），
兩式相減可得a_n=[na_n+n（n-1）]-[（n-1）a_n-1+（n-1）（n-2）]，
整理可得a_n-a_n-1=-2（n≥3）
當(dāng)n=2時，S₂=2a₁+2，∵a₁=19，∴a₂=17，
∴數(shù)列{a_n}是以19為首項，-2為公差的等差數(shù)列
∴a_n=19+（n-1）×（-2）=21-2n
令a_n≥0，可得n≤10.5，∴n=10時，S_n取得最大值，最大值為100；
（2）b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ=（-1）ⁿa_n+2ⁿ
當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=b₁+b₂+…+b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（a_n+2ⁿ）
=（-2）×

n

2

+

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-n-2
當(dāng)n為奇數(shù)時，T_n=b₁+b₂+…+b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（-a_n+2ⁿ）
=-a₁+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）+

2(1-2n)

1-2

=-19+2×

n-1

2

+2ⁿ⁺¹-2=2ⁿ⁺¹+n-22
∴T_n=

2n+1-n-2(當(dāng)n為偶數(shù)) 2n+1+n-22(當(dāng)n為奇數(shù))

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．