Question

已知f(x)=log2(1+x4)-

1+mx

1+x2

（x∈R）是偶函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)常數(shù)m的值，并給出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不要求證明）；
（Ⅱ）k為實(shí)常數(shù)，解關(guān)于x的不等式：f（x+k）＞f（|3x+1|）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由偶函數(shù)的定義，取特殊值得關(guān)于m的方程f（-1）=f（1），解得m=0，最后檢驗(yàn)所求出的值符合題意；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將欲求解的不等式轉(zhuǎn)化為|x+k|＞|3x+1|，等價于不等式（x+k）²＞（3x+1）²的求解，再根據(jù)相應(yīng)方程根的情況討論k值，從而得出不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：f(-1)=1-

1-m

2

，f(1)=1-

1+m

2

函數(shù)為偶函數(shù)，所以f（-1）=f（1），解得m=0
檢驗(yàn)：當(dāng)m=0時，f(x)=log2(1+x4)-

1

1+x2

，f（-x）=f（x）成立，函數(shù)為偶函數(shù)
函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)
（Ⅱ）由（1）的單調(diào)性，可得f（x+k）＞f（|3x+1|）等價于x+k＞|3x+1|≥0或x+k＜-|3x+1|＜0，
轉(zhuǎn)化為（x+k）²＞（3x+1）²成立，因式分解為（4x+k+1）（2x-k+1）＜0
討論①當(dāng)k=

1

3

時，不等式的解集為空集；
②當(dāng)k＜

1

3

時，

k-1

2

＜

-k-1

4

，不等式的解集為（

k-1

2

，

-k-1

4

）；
③當(dāng)k＞

1

3

時，

k-1

2

＞

-k-1

4

，不等式的解集為（

-k-1

4

，

k-1

2

）
綜上所述，當(dāng)k=

1

3

時，不等式的解集為空集；當(dāng)k＜

1

3

時，不等式的解集為（

k-1

2

，

-k-1

4

）；
當(dāng)k＞

1

3

時，不等式的解集為（

-k-1

4

，

k-1

2

）．

點(diǎn)評：考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，同時考查了含有參數(shù)的不等式的求解，屬于中檔題．