Question

過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作直線與其交于M、N兩點(diǎn)，作平行四邊形MONP，則P點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．y²=4（x-2）
B．y²=-4（x+2）
C．y²=4（x+2）
D．y²=x-1

Answer 1

【答案】分析：先求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法將MN所在的直線方程設(shè)出來(lái)，得到其參數(shù)方程，與拋物線方程聯(lián)立得到M，N的橫縱坐標(biāo)所滿足的參數(shù)方程x₁+x₂=，y₁+y₂=，再利用平行四邊形對(duì)角線交于中點(diǎn)的性質(zhì)，求出點(diǎn)P（x，y），的參數(shù)方程，消參數(shù)后即可得到點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)所滿足的方程，
解答：解：由已知拋物線y²=4x，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵平行四邊形MONP，
∴可設(shè)線段MN與線段OP的交點(diǎn)為H（x，y），P（x，y），
由平行四邊形的性質(zhì)，H是OP的中點(diǎn)，
∴x=x，y=y     ①
當(dāng)直線MN的方程為x=1時(shí)，中點(diǎn)就是F，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）
當(dāng)直線的斜率存在在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線MN的方程可設(shè)為y=k（x-1）
由得k²x²-2k²x+k²=4x，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∵M(jìn)（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=，
故y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=k×）-2k=
M，N的中點(diǎn)為H，故有x=，y=
又由①，可得x==2+，y=
兩式聯(lián)立消去k得x=2+，整理得y²=4（x-2），驗(yàn)證知（2，0）在y²=4（x-2）上，
故應(yīng)選A．
點(diǎn)評(píng)：本題是解析幾何中一道較繁瑣的題，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，設(shè)參，消參的相關(guān)技巧，綜合性較強(qiáng)．對(duì)符號(hào)運(yùn)算能力要求較高．