Question

已知函數(shù)f(x)＝x³＋x－16.

(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；

(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．

Answer 1

解　(1)可判定點(diǎn)(2，－6)在曲線y＝f(x)上．

∵f′(x)＝(x³＋x－16)′＝3x²＋1.

∴f′(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.

∴切線的方程為y－(－6)＝13(x－2)，

即13x－y－32＝0.

(2)設(shè)切點(diǎn)為(x₀，y₀)，

則直線l的斜率為f′(x₀)＝3x＋1，

∴直線l的方程為y＝(3x＋1)(x－x₀)＋x＋x₀－16.

又∵直線l過點(diǎn)(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x₀)＋x＋x₀－16，

整理得x＝－8，∴x₀＝－2，

∴y₀＝(－2)³＋(－2)－16＝－26，

k＝3×(－2)²＋1＝13.

∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．

(3)∵切線與直線y＝－＋3垂直，

∴切線的斜率k＝4.

設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x₀，y₀)，則f′(x₀)＝3x＋1＝4，

∴x₀＝±1，∴或

所以切線方程為y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)．

即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.