Question

設S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，Sn=λa_n-1（λ為常數(shù)，n=1，2，3，…）．
（I）若a₃=a₂²，求λ的值；
（II）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在．請說明理由
（III）當λ=2時，若數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b₁=，令，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（I）因為S_n=λa_n-1，
所以a₁=λa₁-1，a₂+a₁=λa₂-1，a₃+a₂+a₁=λa₃-1，
由a₁=λa₁-1可知λ≠1，
所以a₁=，a₂=，a₃=，
因為a₃=a₂²，
所以，
所以λ=0或λ=2．
（II）假設存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則2a₂=a₁+a₃，
由（I）可知，，
所以，即1=0，矛盾，
所以不存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（III）當λ=2時，S_n=2a_n-1，
所以S_n-1=2a_n-1-1，且a₁=1，
所以a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1 （n≥2）．
所以a_n≠0（n∈N^*），且（n≥2）．
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以a_n=2a^n-1（n∈N^*），
因為b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b₁=，
所以b_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+a_n-2+b_n-2=…=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁
=．
當n=1時上式也成立．
所以b_n=．
因為，
所以=
因為，
所以T_n=C₁+C₂+…+C_n
=2
=1-
=．
分析：（I）利用S_n=λa_n-1，通過n=1，2，3，求出a₁，a₂，a₃，利用a₃=a₂²，即可求λ的值；
（II）通過反證法，假設存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，則2a₂=a₁+a₃，推出矛盾，所以不存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（III）當λ=2時，求出數(shù)列{a_n}、數(shù)列{b_n}的通項公式，通過，化簡裂項，然后求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
點評：本題根據(jù)已知條件求出數(shù)列遞推關系式中的變量，考查數(shù)列通項公式的求法，考查數(shù)列求和裂項法的應用，考查計算能力，轉化思想，注意題目的隱含條件的應用．