Question

已知函數(shù)f（x）=

-x3+x2+bx+c，x＜1 alnx，x≥1

的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．
（I）求實(shí)數(shù)b、c的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸．若存在請(qǐng)證明，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5，建立方程，可確定實(shí)數(shù)b，c的值，進(jìn)而可確定函數(shù)的解析式；
（II）分類討論，求導(dǎo)函數(shù)，可得f（x）在[-1，1）上的最大值為2，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=alnx．對(duì)a討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論；
（III）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)．設(shè)P、Q的坐標(biāo)，由此入手能得到對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）=-3x²+2x+b．
依題意，得

f(0)=0 f′(-1)=-5

即

c=0 -3-2+b=-5

解得b=c=0．…（4分）
（II）由（I）知，f(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，x≥1.

①當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，f′(x)=-3x2+2x=-3x(x-

2

3

)，
令f′(x)=0得x=0或x=

2

3

．x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化如下表：

x	（-1，0）	0	(0， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，1)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

又f(-1)=2，f(

2

3

)=

4

27

，f(0)=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值為2．
②當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=alnx．
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≤0；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∵f（x）在[1，2]上的最大值為aln2．
綜上所述，當(dāng)aln2≤2，即a≤

2

ln2

時(shí)，f(x)在[-1，2]上的最大值為2；
當(dāng)aln2＞2，即a＞

2

ln2

時(shí)，f(x)在[-1，2]上的最大值為aln2．…（10分）
（III）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，
則點(diǎn)P、Q只能在y軸的兩側(cè)，不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），
顯然t≠1∵△POQ為直角三角形，∴

OP

•

OQ

=0，即-t2+f(t)(t3+t2)=0．（1）
是否存在P、Q等價(jià)于方程（1）是否有解．若0＜t＜1，則f（t）=-t³t²，
代入（1）式得，-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，即t⁴-t²+1=0，而此方程無實(shí)數(shù)解，
因此t＞1．∴f（t）=alnt，代入（1）式得，-t²+（alnt）（t³+t²）=0，
即

1

a

=(t+1)lnt（*）考察函數(shù)h（x）=（x+1）lnx（x≥1），
則h′(x)=lnx+

1

x

+1＞0，∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，當(dāng)t→+∞時(shí)，h（t）→∞，
∴h（t）的取值范圍是（0，+∞）
∴對(duì)于a＞0，方程（*）總有解，即方程（1）總有解．
因此對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上總存在兩點(diǎn)P、Q使得△POQ是以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確分類，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．