Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若為函數(shù)的極小值點，求的取值范圍，并求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），的遞減區(qū)間和，遞增區(qū)間為，（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）首先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論或，判斷的正負即可求解.

（Ⅱ）令，且，求出，令，且，求出在上單調(diào)遞增，進而分類討論或，求出的單調(diào)區(qū)間，即可求出的單調(diào)區(qū)間，判斷的正負即可求解.

（Ⅰ）由題意知：，且，

若，即時，當，，所以不可能為的極小值點；

若，即時，令；

令或，

所以的遞減區(qū)間和，遞增區(qū)間為，

所以為函數(shù)的極小值點，

綜上：，的遞減區(qū)間和，遞增區(qū)間為.

（Ⅱ）令，

則，

，

令，則，

因為，令，

則，，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

（1）當，即時，，，所以在上單調(diào)遞增，所以對恒成立.

所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，，符合題意；

（2）當，即時，因為，

又且，

又在上連續(xù)且單調(diào)遞增，所以存在，使得，此時，當時，，所以單調(diào)遞減，所以，

所以，所以在單調(diào)遞減，

所以，，矛盾，舍去.

綜上：.