Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（I）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角B₁-AD-B的余弦值；
（Ⅲ）判斷在線段B₁B上是否存在一點(diǎn)M，使得A₁M⊥B₁D？若存在，求出

B1M

B1B

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得需要的各點(diǎn)的坐標(biāo)，
（I）取B₁C₁的中點(diǎn)E，求出向量

A1C

，

DE

，利用向量法證得AC₁∥DE，進(jìn)而再由線面平行的判定定理證得A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）分別求出平面B₁AD和平面ABD的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角B₁-AD-B的余弦值
（III）設(shè)M（0，1，h），求出向量

A1M

和

B1D

的坐標(biāo)，根據(jù)A₁M⊥B₁D，可得

A1M

•

B1D

=0，由此構(gòu)造h的方程解出h的值，可得結(jié)論．

解答：解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz
令A(yù)C=BC=BB₁=2
則A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），D（0，1，0），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2）
（I）令E為AB₁的中點(diǎn)，則E（1，1，1）

A1C

=（-2，0，-2），

DE

=（1，0，1）
∴

A1C

=-

DE

∴

A1C

∥

DE

∴AC₁∥DE
又∵A₁C?平面AB₁D，DE?平面AB₁D；
∴A₁C∥平面AB₁D；
（II）根據(jù)直棱柱的幾何特征可得特征可得

AA1

=（0，0，2）是平面ABD的一個(gè)法向量
設(shè)平面B₁AD的法向量為

m

=（x，y，z）
由

DE

=（1，0，1），

AD

=（-2，1，0）
∵

m • DE =0 m • AD =0

，即

x+z=0 -2x+y=0

令x=1，則

m

=（1，2，-1）
則二面角B₁-AD-B的平面角θ滿足：
cosθ=

| m • AA1 |

| m |•| AA1 |

=

6

6

（III）設(shè)M（0，1，h），
則

A1M

=（-1，1，h-1），

B1D

=（0，-

1

2

，-1），
∵A₁M⊥B₁D，
∴

A1M

•

B1D

=-1×0+1×（-

1

2

）+（h-1）×1=0，
∴h=

1

2

．
∴M為所在線段中點(diǎn)，
∴

B1M

B1B

=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的性質(zhì)，考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查分析、證明與運(yùn)算能力，屬于中檔題．