Question

不等式ax²+（a-3）x+（a-4）＞0對a∈[1，∞）恒成立，則x的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，-1）或（3，+∞）
分析：把給出的不等式看作是關(guān)于a的一元一次不等式，要使不等式ax²+（a-3）x+（a-4）＞0對a∈[1，∞）恒成立，即
（x²+x+1）a-3x-4＞0恒成立，a的系數(shù)恒大與0，說明一次不等式對應(yīng)的一次函數(shù)的斜率為正，只需把a代1時函數(shù)值大于0即可，由此可求得x的取值范圍．
解答：由ax²+（a-3）x+（a-4）＞0，得：（x²+x+1）a-3x-4＞0，
∵x²+x+1＞0恒成立，
令f（a）=（x²+x+1）a-3x-4，
要使（x²+x+1）a-3x-4＞0對a∈[1，∞）恒成立，
則f（1）＞0，即x²+x+1-3x-4＞0恒成立，
解得：x＜-1或x＞3．
所以，使不等式ax²+（a-3）x+（a-4）＞0對a∈[1，∞）恒成立的x的取值范圍是（-∞，-1）或（3，+∞）．
故答案為（-∞，-1）或（3，+∞）．
點評：本題考查一元二次不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是更換主元，把二次不等式看做關(guān)于a的一次不等式處理，此題是中檔題．