Question

已知函數(shù)f（x）=

x-lnx(x＞ 1 2 ) x2+2x+a-1(x≤ 1 2 )

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的零點．

Answer 1

解（1）當(dāng)x＞

1

2

時，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

由f′（x）＞0得x＞1．
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)x≤

1

2

時，f（x）=x²+2x+a-1=（x+1）²+a-2，
∴f（x）在(-1，

1

2

)上是增函數(shù)
∴f（x）的遞增區(qū)間是（-1，

1

2

）和（1，+∞）．
（2）當(dāng)x＞

1

2

時，由（1）知f（x）在（

1

2

，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增且f′（1）=0．
∴f（x）有極小值f（1）=1＞0，
此時f（x）無零點．當(dāng)x≤

1

2

時，f（x）=x²+2x+a-1，△=4-4（a-1）=8-4a．
當(dāng)△＜0，即a＞2時，f（x）無零點．
當(dāng)△=0，即a=2時，f（x）有一個零點-1．
當(dāng)△＞0，且f（

1

2

）≥0時，
即

8-4a＞0 1 4 +1+a-1≥0

∴-

1

4

≤a＜2時f（x）有兩個零點：
x=

-2+ 8-4a

2

或x=

-2- 8-4a

2

，即x=-1+

2-a

或x=-1-

2-a

當(dāng)△＞0且f（

1

2

）＜0，即

8-4a＞0 1 4 +1+a-1＜0

∴a＜-

1

4

時，f（x）僅有一個零點-1-

2-a