設(shè)G為的重心，過G的直線分別交AB,AC于，已知：，和的面積分別為，

(Ⅰ)  求的值；    (Ⅱ) 求的取值范圍.

 

【答案】

（1）3；（2）.

【解析】平面幾何與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標(biāo)化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運算；或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題。

解：(Ⅰ)連結(jié)AG并延長交BC于M,則M是BC的中點，設(shè)，則，                 ①

又，　　　　　　 ②

，

三點共線，故存在實數(shù)，使，

，消得：，即 

或者另一種解法由②式得，       ③

將③代入①得.三點共線，

故,即  .

(Ⅱ)，，其中

，即，

即    ，

其中時，有最大值，時， 有最小值2，

于是 的取值范圍是.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過點F（1，0）的直線l交拋物線C：y2=4x于A，B兩點．
（1）若|AB|=8，求直線l的方程；
（2）記拋物線C的準(zhǔn)線為l，設(shè)OA，OB分別交l于M，N兩點，△AOB與△MON的重心分別為G，H，求|GH|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設(shè)點C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足
OP
•
OQ
=-2？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質(zhì)如下：設(shè)△ABC的重心，且有
GD
GC
=
GE
GA
=
GF
GB
=
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設(shè)點C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足數(shù)學(xué)公式？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質(zhì)如下：設(shè)△ABC的重心，且有數(shù)學(xué)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年陜西師大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（Ⅰ）如圖1，A，B，C是平面內(nèi)的三個點，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點，若點C在直線AB上，試證明：存在實數(shù)λ，使得：．
（Ⅱ）如圖2，設(shè)G為△ABC的重心，PQ過G點且與AB、AC（或其延長線）分別交于P，Q點，若，，試探究：的值是否為定值，若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由．

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