Question

如圖，已知△ABD是等腰直角三角形，∠D=90°，BD=

2

．現(xiàn)將△ABD沿斜邊的中線DC折起，使二面角A-DC-B為直二面角，E是線段AD的中點，F(xiàn)是線段AC上的一個動點（不包括A）．
（1）確定F的位置，使得平面ABD⊥平面BEF；
（2）當(dāng)直線BD與直線EF所成的角為60°時，求證：平面ABD⊥平面BEF．

Answer 1

分析：（1）以C為原點，分別以CB、CD、CA為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)

AD

•

BE

=0，可知AD⊥BE，根據(jù)面ABD與面BEF垂直的性質(zhì)定理可知AD⊥面BEF，則AD⊥EF，即

AD

•

EF

=0，即可得到F點與C點重合時滿足條件；
（2）根據(jù)|cos＜

BD

，

EF

＞|=|

BD ? EF

| BD |?| EF |

|=

1

2

求出z，由F是線段AC上（不包括A、C）的點得z=0，從而F點與C點重合，則AD⊥EF，從而得到結(jié)論．

解答：證明：（1）由已知二面角A-DC-B為直二面角，又AC⊥CD，
∴AC⊥面BCD
在Rt△ACD中，CD=1，∠ADC=45°，
∴AC=1．
以C為原點，分別以CB、CD、CA為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，1）．
∵E為AD中點，
∴E（0，

1

2

，

1

2

），
∵

AD

•

BE

=(0，1，-1)•(-1，

1

2

，

1

2

)=0，
∴AD⊥BE．
若面ABD⊥面BEF，則AD⊥面BEF，則AD⊥EF，即

AD

•

EF

=0，
設(shè)F（0，0，z），則（0，1，-1）•（0，-

1

2

，z-

1

2

）=0，
∴（-

1

2

）•1+（-1）•（z-

1

2

）=0?z=0，
∴F點坐標(biāo)為（0，0，0），即F點與C點重合時，平面ABD⊥平面BEF．
（2）由（1）知

EF

 =(0，-

1

2

，z-

1

2

)，

BD

=(-1，1，0)
|cos＜

BD

，

EF

＞|=|

BD ? EF

| BD |?| EF |

|=

1

2

解得z=0或z=1，由F是線段AC上（不包括A、C）的點得z=0
∴F點坐標(biāo)為（0，0，0），即F點與C點重合，
∴AD⊥EF，
又BC⊥AD
∴平面ABD⊥平面BEF

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，平面與平面垂直的性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題的能力．