Question

設(shè)雙曲線C的中心在原點，以拋物線的頂點為雙曲線的右焦點，拋物線的準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線．
（1）試求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=2x+1與雙曲線C交于A、B兩點，求|AB|；
（3）對于直線L：y=kx+1，是否存在這樣的實數(shù)k，使直線L與雙曲線C的交點A、B關(guān)于直線y=ax（a為常數(shù)）對稱，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y²=2x-4，即y²=2（x-），可知拋物線頂點為（，0），準(zhǔn)線方程為x=．在雙曲線C中，中心在原點，右焦點（，0），右準(zhǔn)線x=，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）由，知3x²-（2x+1）²=1，由此能求出|AB|．
（3）設(shè)存在實數(shù)k，使A、B關(guān)于直線y=ax對稱，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則，由此能夠推導(dǎo)出不存在實數(shù)k，使A、B關(guān)于直線y=ax對稱．
解答：解：（1）由拋物線y²=2x-4，即y²=2（x-），可知拋物線頂點為（，0），準(zhǔn)線方程為x=．
在雙曲線C中，中心在原點，右焦點（，0），
右準(zhǔn)線x=，∴⇒
∴雙曲線C的方程3x²-y²=1
（2）由⇒3x²-（2x+1）²=1⇒x²+4x+2=0∴|AB|=2
（3）假設(shè)存在實數(shù)k，使A、B關(guān)于直線y=ax對稱，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則
由
由②③，有a（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）+2 ⑤
由④知：x₁+x₂=代入⑤
整理得ak=3與①矛盾，故不存在實數(shù)k，使A、B關(guān)于直線y=ax對稱．
點評：本題考查雙曲線方程的求法、求弦長和判斷是否存在存在滿足條件的實數(shù)k．解題時要認(rèn)真審題，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．