Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，是函數(shù)的兩個不同零點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由題意對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)、、和分類討論，找到、的解集，即可得解；

（2）由題意轉(zhuǎn)化條件得有兩個不等實根，通過構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)可得，設(shè)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可將原不等式轉(zhuǎn)化為，通過構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)可證明，即可得證.

（1）由題意得，，

（i）當時，，令得，

當時，；當時，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（i i）當時，令得，，

①當即時，當時，均有，

在上單調(diào)遞增；

②當即時，

當時，；當時，；

在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③當即時，

當時，；當時，；

在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）當時，，不是的零點，

當時，由得，

令，

則，

易知，

當時，，，

在上單調(diào)遞減，且當時，；

當時，，，

在上單調(diào)遞增，且；

根據(jù)函數(shù)的以上性質(zhì)，畫出的圖象，如圖所示：

由圖可知，，是函數(shù)的兩個不同零點直線與的圖象有兩個交點即，

不妨設(shè)：，

要證，即要證，

由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，

即要證，

又，即要證，即要證，

令，

則，

當時，，即，

，在上單調(diào)遞增，，

，

原不等式成立.