Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4．
（1）若l的參數(shù)方程中的$t=-\sqrt{2}$時(shí)，得到M點(diǎn)，求M的極坐標(biāo)和曲線C直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P（0，2），l和曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的方法得到結(jié)論；
（2）利用參數(shù)的幾何意義，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$．

解答 解：（1）l的參數(shù)方程中的$t=-\sqrt{2}$時(shí)，M（-1，1），極坐標(biāo)為$M（\sqrt{2}，\frac{3}{4}π）$，
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4，曲線C的直角坐標(biāo)方程：x²+y²=16…（5分）
（2）由${（\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}+{（2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}=16$得${t^2}+2\sqrt{2}t-12=0$，${t_1}+{t_2}=-2\sqrt{2}，{t_1}•{t_2}=-12$$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}=\frac{{|{t_1}|+|{t_2}|}}{{|{t_1}•{t_2}|}}=\frac{{\sqrt{{{（-2\sqrt{2}）}^2}-4•（-12）}}}{12}=\frac{{\sqrt{14}}}{6}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．