【題目】已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是12．

（1）求的解析式；

（2）是否存在自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

【答案】（1）；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)小于的解集，設(shè)出解析式，利用單調(diào)性求得最大值，解出待定系數(shù)．（2）將方程等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用的導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷的根的情況．

試題解析：解：(1)∵是二次函數(shù)，且的解集是，

∴可設(shè)，∴在區(qū)間上的最大值是．

由已知，得，∴，∴

（2）方程等價(jià)于方程，

設(shè)，則當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)．

∵

∴方程在區(qū)間內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，所在存在唯一的自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩上不等的實(shí)數(shù)根

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為．

（1）當(dāng)切線的長度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若的外接圓為圓，試問：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（3）求線段長度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)有學(xué)生 人，其中一年級(jí) 人，二、三年級(jí)各 人，現(xiàn)要用抽樣方法抽取 人形成樣本，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為 ， ， ， ，如果抽得號(hào)碼有下列四種情況：

①， ， ， ， ， ， ， ， ， ；

②， ， ， ， ， ， ， ， ， ；

③， ， ， ， ， ， ， ， ， ；

④， ， ， ， ， ， ， ， ， ；

其中可能是由分層抽樣得到，而不可能是由系統(tǒng)抽樣得到的一組號(hào)碼為

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖, 四棱錐中, 平面平面,為線段上一點(diǎn),為的中點(diǎn)．

（1）證明: 平面；

（2）求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了了解我校高2017級(jí)本部和大學(xué)城校區(qū)的學(xué)生是否愿意參加自主招生培訓(xùn)的情況，對(duì)全年級(jí)2000名高三學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

校區(qū)

愿意參加

不愿意參加

重慶一中本部校區(qū)

220

980

重慶一中大學(xué)城校區(qū)

80

720

（1）若從愿意參加自主招生培訓(xùn)的同學(xué)中按分層抽樣的方法抽取15人，則大學(xué)城校區(qū)應(yīng)抽取幾人；

（2）現(xiàn)對(duì)愿意參加自主招生的同學(xué)組織摸底考試，考試題共有5道題，每題20分，對(duì)于這5道題，考生“如花姐”完全會(huì)答的有3題，不完全會(huì)的有2道，不完全會(huì)的每道題她得分的概率滿足：，假設(shè)解答各題之間沒有影響，

①對(duì)于一道不完全會(huì)的題，求“如花姐”得分的均值；

②試求“如花姐”在本次摸底考試中總得分的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．

（1）求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；

（2）若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，

①列出所有可能的抽取結(jié)果；

②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列， 是數(shù)列的前項(xiàng)和，

（1）若，求；

（2）已知，且對(duì)任意的，有恒成立，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若，且存在正整數(shù)，使得，求當(dāng)最大時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，.

（I）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（II）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（III）令，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求當(dāng)實(shí)數(shù)等于多少時(shí)，可以使函數(shù)取得最小值為3.

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