Question

如圖，E是圓O內(nèi)兩弦AB和CD的交點(diǎn)，過(guò)AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)F作圓O的切線FG，G為切點(diǎn)，已知EF=FG．求證：
（Ⅰ）△DEF∽△EAF；
（Ⅱ）EF∥CB．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：綜合題,立體幾何

分析：（Ⅰ）利用切割線定理，EF=FG可得

EF

FA

=

FD

EF

，利用∠EFA=∠DFE，可得△DEF∽△EAF；
（Ⅱ）證明∠FED=∠BCD，即可證明EF∥CB．

解答： 證明：（Ⅰ）由切割線定理得FG²=FA•FD．
又EF=FG，所以EF²=FA•FD，即

EF

FA

=

FD

EF

．
因?yàn)椤螮FA=∠DFE，所以△FED∽△EAF．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED=∠FAE．
因?yàn)椤螰AE=∠DAB=∠DCB，
所以∠FED=∠BCD，所以EF∥CB．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查切割線定理，考查三角形相似的判斷，屬于中檔題．