Question

若，則方程x³-2ax²+1=0在（0，2）上有（ ）
A．0個根
B．1個根
C．2個根
D．3個根

Answer 1

【答案】分析：先將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)為題，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³-2ax²+1，再證明此函數(shù)在（0，2）上為單調(diào)函數(shù)且f（0），f（2）異號即可作出判斷
解答：解：設(shè)函數(shù)f（x）=x³-2ax²+1，則f′（x）=3x²-4ax=x（3x-4a），∵，∴4a＞6，而x∈（0，2），∴3x＜6，∴f′（x）=x（3x-4a）＜0
∴函數(shù)f（x）=x³-2ax²+1在（0，2）上為減函數(shù)
∵f（0）=1＞0，f（2）=9-8a＜0
∴函數(shù)f（x）=x³-2ax²+1在（0，2）上有且只有一個零點(diǎn)
即方程x³-2ax²+1=0在（0，2）上有且只有一個根
故選B
點(diǎn)評：本題考察了根的存在性及根的個數(shù)判斷問題，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)存在性定理及運(yùn)用，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法