Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離與它到直線(xiàn)x=2的距離之比為 ．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)y=kx+m（m≠0）與曲線(xiàn)E交于A，B兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于C，D兩點(diǎn)（且C，D在A，B之間或同時(shí)在A，B之外）．問(wèn)：是否存在定值k，對(duì)于滿(mǎn)足條件的任意實(shí)數(shù)m，都有△OAC的面積與△OBD的面積相等，若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)M（x，y），由題意可得 = ，

兩邊平方可得x2+y2﹣2x+1= （x2﹣4x+4），

即有 +y2=1，

可得軌跡E的方程為 +y2=1；

（2）解：聯(lián)立 ，消去y，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1），

由△＞0，可得m2＜1+2k2（*），

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣ ，

由題意可設(shè)C（﹣ ，0），D（0，m），

△OAC的面積與△OBD的面積相等|AC|=|BD|恒成立

線(xiàn)段AB的中點(diǎn)和線(xiàn)段CD中點(diǎn)重合．

即有﹣ =﹣ ，解得k=± ，

即存在定值k=± ，對(duì)于滿(mǎn)足條件的m≠0，且|m|＜

的任意實(shí)數(shù)m，都有△OAC的面積與△OBD的面積相等

【解析】（1）設(shè)M（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，兩邊平方整理即可得到所求軌跡E的方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用判別式大于0，以及韋達(dá)定理，求得C，D的坐標(biāo)，由△OAC的面積與△OBD的面積相等|AC|=|BD|恒成立線(xiàn)段AB的中點(diǎn)和線(xiàn)段CD中點(diǎn)重合．運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得k的值，即可判斷存在．