已知曲線C上的任意一點P到點F(1,0)的距離比它到直線m:x=-4的距離小3.
(1)求曲線C的方程;
(2)在曲線C上是否存在一點M,它到點F(1,0)與到點A(3,2)的距離之和最。咳舸嬖,請求出最小值及M的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由題意可得,點P到F(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等,由拋物線的定義可得點的軌跡是以F(1,0)為焦點,以x=-1為準線的拋物線,從而可求
(2)過M作MF垂直于準線l:x=-1.垂足為點P,由拋物線的定義可知MP=MF,從而有MA+MF=MA+MF,過點A作垂足于準線的直線與拋物線相交的點記為M時,所求的線段和最小
解答:解:(1)由題意可得,點P到F(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等
由拋物線的定義可得點的軌跡是以F(1,0)為焦點,以x=-1為準線的拋物線
拋物線的方程為:y2=4x
(2)過M作MF垂直于準線l:x=-1.垂足為點P,由拋物線的定義可知MP=MF
所以MA+MF=MA+MF,過點A作垂足于準線的直線與拋物線相交的點記為M時,
所求的線段和最小,此時MA+MF=4,M(1,2)
點評:本題主要考查了拋物線的定義的靈活應(yīng)用,解答(1)的關(guān)鍵是要轉(zhuǎn)化為點P到F(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等(2)的關(guān)鍵是要利用定義:拋物線上的點到準線的距離與到焦點的距離相等進行轉(zhuǎn)化
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•濱州一模)已知曲線C:xy=1,過C上一點An(xn,yn)作一斜率為kn=
1
xn+2
的直線交曲線C于另一點An+1(xn+1,yn+1),點列{An}的橫坐標構(gòu)成數(shù)列{xn},其中x1=
11
7

(I)求xn與xn+1的關(guān)系式;
(II)令bn=
1
xn-2
+
1
3
,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(III)若cn=3n-λbn(λ為非零整數(shù),n∈N*),試確定λ的值,使得對任意n∈N*,都有cn+1>cn成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•松江區(qū)三模)在平面直角坐標系中,O為坐標原點.已知曲線C上任意一點P(x,y)(其中x≥0)到定點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1,直線l與曲線C相交于不同的A,B兩點.
(1)求曲線C的軌跡方程;
(2)若直線l經(jīng)過點F(1,0),求
OA
OB
的值;
(3)若
OA
OB
=-4
,證明直線l必過一定點,并求出該定點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳二模)如圖,已知動圓M過定點F(0,1)且與x軸相切,點F關(guān)于圓心M的對稱點為F′,動點F′的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)A(x0,y0)是曲線C上的一個定點,過點A任意作兩條傾斜角互補的直線,分別與曲線C相交于另外兩點P、Q.
①證明:直線PQ的斜率為定值;
②記曲線C位于P、Q兩點之間的那一段為l.若點B在l上,且點B到直線PQ的距離最大,求點B的坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C上任意一點到兩定點F1(-
3
,0)
、F2(
3
,0)
的距離之和是4,且曲線C的一條切線交x、y軸交于A、B兩點,則△AOB的面積的最小值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標系中,O為坐標原點.已知曲線C上任意一點P(x,y)(其中x≥0)到定點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1,直線l與曲線C相交于不同的A,B兩點.
(1)求曲線C的軌跡方程;
(2)若直線l經(jīng)過點F(1,0),求數(shù)學(xué)公式的值;
(3)若數(shù)學(xué)公式,證明直線l必過一定點,并求出該定點.

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