Question

己知雙曲線(xiàn)C的方程為，若直線(xiàn)x-my-3=0截雙曲線(xiàn)的一支所得弦長(zhǎng)為5．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)雙曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)P的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)P₁、P₂，且點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比為λ（λ＞0），當(dāng)時(shí)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由曲線(xiàn)C的方程為，得，c=2，e=，左、右焦點(diǎn)分別為：F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），故直線(xiàn)x-my-3=0恒過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F₂（3，0），于是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支相交，由雙曲線(xiàn)的第二定義得：=e，由此能求出m．
（Ⅱ）雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)方程分別為，，設(shè)P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比為λ（λ＞0），則，，，由此能求出（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值．
解答：解：（Ⅰ）由曲線(xiàn)C的方程為，
得，∴c=2，e=，
左、右焦點(diǎn)分別為：F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），
∴直線(xiàn)x-my-3=0恒過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F₂（3，0），
于是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支相交，
設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由雙曲線(xiàn)的第二定義得：=e，
即|AF₂|=．
同理，，
∴|AB|=|AF₂|+|BF₂|=，
依題意，得，
∴x₁+x₂=6，
由直線(xiàn)過(guò)右焦點(diǎn)F₂（3，0），知x₁=x₂=3，
此時(shí)直線(xiàn)垂直于x軸，
∴m=0．
（Ⅱ）雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)方程分別為，，
設(shè)P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比為λ（λ＞0），
則，，，
∵點(diǎn)P（x，y）在雙曲線(xiàn)上，
∴，
化簡(jiǎn)，得，
∵=，
同理，得，
∴，（λ＞0），
當(dāng)時(shí)，=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．